存在连续空间。————豪斯多夫，于年密集恐惧症患者慎入

自然界中的大部分图形都是十分复杂且不规则的，因此人们便自然而然地希望能找到可以描述这些复杂现象的几何工具。

于是，分形几何学就应运而生了。

那今天我们就来聊聊“分形几何学”

--------THEFRACTALGEOMETRY

分形几何学，重点在“分形”,而“分形”，又是与“分维”密不可分的。

分维，全称“分数维度”

分数维度？少蒙我，零维，一维，二维，三维我都懂，四维，五维我也好理解，这蹦出来个分数维度？

这分数维度确是较为生疏的概念，它和我们熟知的一维二维三维属于不同的维度体系，一维二维三维，同属于拓扑维体系，在该体系下，维数只能为整数；而分维属于豪斯多夫维体系，在该体系中，维数可以为不小于1的分数。

等等，那分维这个概念是怎么来的？凭空“捏造”的？

哈，那可又要回到我们的拓扑维体系中来了，毕竟论辈分，分维可得叫整数维祖宗。

分维实际上是由整数维扩充而来的。蛤？怎么扩充的？

那先得讲讲整数维的定义；

相信在小学阶段，大家都见过这么一个问题，其实整数维的定义，也是由此而来的：

一个边长为1的正方形，各边延长至原先的3倍，问变化后的面积变为原来几倍？

不用多想，我们就能得出9这个答案。

原先面积是12=1，变化后的面积则是32=9

同样，在立体中我们也可给出类似的问题：

一个边长为1的立方体，各边延长至原先的3倍，问变化后的体积变为原来几倍？

不用多想，我们都能得出27这个答案。

原先体积是13=1，变化后体积则是33=27

记住，我们的目的是要定义整数维。那么我们就要试着把问题推广到一般形式以找出边长增加至的倍数l，“次数”D（最为重要，为需要延长的边长数），及得到的结果N（变化后得到的图形是原图形的几倍）的关系。

不难发现它们有如下关系：

做下变换，把D“弄出来”

D，需要延长的边长数，即是维数！（想一想，对不对？）

小小庆祝一下吧，我们已经找到了整数维数的定义式！

但是还没完，记得分维是由整数维概念扩充而来的吗？

怎么扩充的呢？

定义式，定义式，要定义就得有定义域，定义域是限制，除去了限制，维数自然也就被推广了。

这里我们做一次“质的飞跃”：即除去lgN/lgl必为正整数的限制。

那么D即可为小数！分维也被我们定义了！

终于处理完了分维，现在让我们回到具有分维性质的分形上来。

数学是抽象的，公式易推导，图形难想象，到底什么样的图形是“分的”呢？

？

翻阅文献中。。。。。。。。。。。

所谓分形，是要具有两种性质的（两种性质是互依的）图形：

自相似性：分形的任意局部总是与整体相似的。

标度不变性：分形经过放大后，其标度（比例尺）改变，其几何性质却不变，放大前线条之间角度是多少，放大之后还是多少，各段与各段长度之比放大前是多少，放大之后还是多少，放大不放大观测上都是一样的。

看起来，自相似性和标度不变性只是名称不同，本质并无区别。

（实际上，自相似性是从纯数学角度来定义的，而标度不变性则是从观测上来定义的。）

可是那里存在这种“怪胎”呢！眼见为实，倒是拿出来个给我们看看啊！

别急，这就奉上。

拓扑维-2分形

科赫曲线必是其中著名典范之一

下面我们来构造一条科赫曲线。

如图，①将一线段三等分；

②将其中间一段舍去，并以两条相同长度的折线替代，使其中间部分构成一无底边的“等边三角形”；

③将新得到的线段逐一三等分，各段中间部分分别再次用两条长度相同的折线替代；

④不断重复以上步骤，当步骤数趋于无穷时，我们就得到了一条科赫曲线。（这不代表你徒手作图要花上一辈子，画个大概即可。若想要得到极其精细的图形，可用Mathematica，Java软件生成）

这样一条曲线就是具有所谓自相似性（标度不变性）的，下面我们来验证一下，选取任意一段（红框内）,

放大3倍，所得的图形依然是与原图一模一样的

果真，它的一个局部是与整体相似的！

示例中的局部放大3倍即是原图，而原图又是由4个局部组成的。

那么，由于其自相似性（标度不变性），科赫曲线就是一个分形，有分形性质就有一确切的分维：

（我们可以认为它是一个因为具备某些特殊性质，而凌驾于一维之上，而又跳不出二维平面束缚的图形）

而折线长度，以每步骤4/3倍的形式递增，那么其最终形态：科赫曲线的长度即可由下式给出：

其中，L。表示线段初始长度

由于步骤趋于无穷大，故n也趋于无穷大，那么科赫曲线的长度自然也是趋于无穷大，即L→∞,求长度显然是无意义的。

但你若觉得鼎鼎大名的科赫曲线就这点可讨论的余地，那你便错了。

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问题乱入：

试问由三段科赫曲线互相拼接所组成的“科赫雪花”的面积为几何？

相信勤学善思的你，一定能得出答案。

让我们离开拓扑维-2，转而进入拓扑维-3

拓扑维-3分形

典例：门格尔海绵

让我们来构造一个门格尔海绵

如图，①将一实心正方体27等分；

②挖去正方体六个面中心部分的六个小方块，及正方体正中心的小方块；

③对余下20个小方块进行同样的操作；

④不断重复以上步骤，当步骤数趋于无穷时，我们就得到了一块门格尔海绵。（该立体模型同样可由Mathematica软件生成）

同样，我们选取其中任意一块（红框内），

将小海绵各方向拉长为原来的3倍，即体积为原来的20倍（注意除去其六面中央及正中心已镂空的7小块所占的空体积），我们发现，这一块小海绵与大海绵也是相似的。

示例中的小海绵各方向拉长3倍即是大海绵，而大海绵又是由20个小海绵组成的。

那么，门格尔海绵也具有自相似性（标度不变性）

那么，我们也可求其分维：

而原来的大实心方块的体积，以每步骤20/27倍的形式递减，那么其最终形态：门格尔海绵的体积可由下式给出:

其中V。表示大实心方块的初始体积

显然，生成门格尔海绵的步骤需要无穷多，意味着n也要趋于无穷大，那么门格尔海绵的体积自然也趋于无穷小V→0

可是，如果门格尔海绵的体积趋于0的话，它不应该不存在吗？我们又怎能从视觉上“看见”这好似分量十足却又实际空无一物的“实体”？

这实际是因为我们混淆了“趋于”和“等于”的概念，“趋于0”表示无限接近于0，但绝不会“触及”0。这就好比V和0之间仍有那么一点“残余物质”阻止着V=0。

所以说，门格尔海绵或多或少仍有一点体积残留，这已足以让我们看到它的全貌。

可见，分形几何学所包含的不仅仅只有求分维时的死板对数概念，还包含了极限理论等诸多内容。

可问题又来了，这些分形都是规则图形啊，大自然之千变万化，神秘莫测，岂能就这么简单地描述出来？

也太小看我分形了吧。

加入点随机性，图形就从有规变为无规：

(海岸线）

(花丛）

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随机就是随便？那岂不乱了套......

高斯正态分布！大概率事件总是集中在图形的中间部分（凸起），

而小概率事件则汇聚在于图形两侧部分（相对平缓）

这意味着，所谓随机，其实也是有规律可循的。

约翰·卡尔·弗里德里奇·高斯，(.04.30－.02.23）,在研究测量误差时从另一角度导出了高斯正态分布

大自然变化万千，杂乱中也深藏着秩序，无尽的规律一直等待着我们去探索发现。

分形几何学正是我们描述大自然的有力工具之一，亦是大自然给予我们

勾勒这个世界的一支画笔。

就让我们追随着它的笔迹，来结束这篇文章吧。

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