中国目前初中数学教育大纲基于以下这个情况，即绝大多数人现实生活中只会用到三年级以下的数学，因此难度下降很大，属于普遍教育。而高中数学的难度并没有下降，因此初高中之间的衔接存在着很大的困难。
我曾经遇到过本地区最好的公办初中的一个学生，她在初中排在年级前20名（年级总共多学生），但是进入高中后感觉非常吃力，跟不上进度。和她交流后我一句话概括，现在的初中数学要求太低，难度太低。
本系列专题讲座的习题和例题都来自各年中考题以及重点高中的自招题，难度高于中考的平均程度，差不多是重点高中的自招难度。
系列里面许多解题方法和扩展的知识对进入高中后的数学学习是极其必要的补充。
系列的习题和例题都在不断丰富和更新中。
初中数学培优七年级下第八讲因式分解（初中竞赛难点之一）
二、重点难点分析
1.因式分解的实质是多项式的恒等变形，是将多项式转化为几个整式的积的形式，和整式乘法是互逆关系。
2.提取公因式法是因式分解的基本方法，关键在于找公因式。找公因式的方法是:一看系数,二看相同的字母或因式。
3.平方差公式:a2一b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式:a22ab+b2==(ab)2是常用的两个公式，平方差公式适用于二项式，完全平方公式适用于三项式。
4.因式分解的一般步骤:(1)若多项式有公因式，先提取公因式；(2)若多项式没有公因式。对于二项式，可以考虑应用平方差公式；对于三项式可以考虑应用完全平方公式或十字相乘法[x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]；(3)当多项式不能应用公式或者项数多于三项时,也就是既没有公因式也不能用公式分解时，可以尝试用分组分解法，项数较少时可通过拆项或添项后再分组。
5.因式分解的两种常见错误:一是提不净，即有公因式没提干净；二是分不清、即分解不彻底，因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止。
6.十字相乘法和分组分解法虽然是课本上不作要求的方法，但对于整式的变形有很大的作用,建议学会这两种方法。
7.配方法、换元法、待定系数法、求根法、拆(添)项法等都是因式分解的常用方法。
三、例题精选
例1因式分解：
（1）；
（2）；
(3)9（）22；
(4)3a2+bc-3ac-ab;
(5)16x4-8x2y2+y4.
解析：
(1)原式==（x+2）（x-2）；公式法
(2)原式=-y（）=；提取公因式再公式法
(3)原式=[3(a-b)+2(a+b)][3(a-b)-2(a+b)]=(5a-b)(a-5b);公式法
(4)原式=(3a2-3ac)+(bc-ab)=3a(a-c)-b(a-c)=(3a-b)(a-c);分组分解法.
（5原式=(4x2-y2)2=(2x+y)2(2x-y)2.两次使用公式法。
总结：(1)同底数幂的乘除要先分清底数是否相同,若不同,则要先化为同底数幂的运算再运用法则;(2)法则中底数可以是数、字母或代数式，关键是要相同;(3)同底数幂的乘法和除法是同级运算,按从左到右的顺序计算。（4）注意正负符号，底数和指数的符号是两个不同的内容，不要混淆.
例2因式分解：（1）x2-x+；（2）x2+42x-。
解析：常规思路这种三项式直接用十字交叉法做；但是由于常数项太大，很难一眼看出可以拆成哪两个数字之积，因此我们可以考虑先用配方法，构造出a2-b2的形式，然后用公式差公式分解。
（1）原式=(x-60)2-+
=(x-60)2-
=(x-48)(x-72);
（2）原式=(x+21)2--
=(x+21)2-
=(x+21)2-
=(x+84)(x-42).
例3阅读下列材料并解答问题:
因为(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，所以对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式分解,就是把常数项q分解成两个数的积且使这两个数的和等于p,即若有a,b两数满足ab=q且a+b=p，则有x2+px+q=(x+a)(x+b).这就是十字相乘法（十字交叉法）的原理。
例如:分解因式,x2+5x+6.
解:3=6,2+3=5,x2+5x+6=(x+2)(x+3)。
再如:分解因式、x2-5x-6
解:-61=-6、-6+1=-5、x2-5x-6=(x-6)(x+1)。
同学们、阅读完上述文字后、你能完成下面的题目吗?试试看分解因式:(1)x2+7x+12；
（2）x2-7x+12；
（3）x2+4x-12；
（4）x2-x-12.
解：
(1)原式=(x+3)(x+4)；
(2)原式=(x-3)(x-4)；
(3)原式=(x+6)(x-2)；
(4)原式=(x-4)(x+3)。
例4阅读下面的材料,解答下列问题:
材料1:公式法(平方差公式、完全平方公式)是因式分解的一种基本方法.如对于二次三项式a2+2ab+b2,可以逆用乘法公式将它分解成(a+b)2的形式,我们称a2+2ab+b2为完全平方式,但是对于一般的二次三项式,就不能直接应用完全平方公式了,我们可以在二次三项式中先加上一项,使其配成完全平方式,再减去这项,使整个式子的值不变,于是有:X2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a).此即拆项添项法，而配方法本质上也是拆项添项法。
材料2:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.
解:将x+y看成一个整体,令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2.
再将A还原,得;原式=(x+y+1)2.
上述解题用到的是整体思想或者叫“换元法”,整体思想是数学解题中常见的一种思想方法,请你解答下列问题:
(1)根据材料1,把c2-6c+8分解因式;
(2)结合材料1和材料2完成下面各题:
①分解因式:(a-b)2+2(a-b)+1;
②分解因式:(m+n)(m+n-4)+3.
解析：
(1)利用已知结合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案;
(2)①直接利用完全平方公式分解因式得出答案;
②利用已知结合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案。
解答:
（1）原式=(c-3)2-9+8=(c+2)(c-4);
（2）①原式=(a-b+1)2;
②原式=（m+n）2-4（m+n）+3
=（m+n-1）（m+n-3）。
例5因式分解：
（1）4x3-31x+15；
（2）x3+5x2+3x-9；
（3）2a4-a3-6a2-a+2。
解析：这些题目基本达到竞赛的难度，要多种方法综合使用，
通过每道题目的讲解，把竞赛中经常要使用的方法讲解一下。
（1）
方法一、以试根法和综合除法（长除法）为主导，十字相乘法配合求解。
假如经过因式分解后4x3-31x+15=A（x-a），其中A为一个二次多项式。那么把x=a代入恒等式，等号两边都等于0。在例4的解答过程中我们可以发现，对于最高次系数为1的多项式，a必定是常数项的因数；推广而言，当最高次项系数为p，常数项为q时，如果多项式存在一次项因式（x-a），那么a必然是的其中一个值。
比如此题，4的因数有1,2,4等三个（p只需要正因数即可），15的因数有：（q的因数要考虑正负数）。通过试根，我们发现把x=-3代入原多项式的值为0，所以）（x+3）是原多项式的一个因式，把（x+3）作为除式去除4x3-31x+15，商式为4x2-12x+5，这样三次多项式就变成二次多项式，达到了降幂的目的，然后对商式继续分解。综合除法部分可以参考上一讲《整式的除法》。
原式=（x+3）（4x2-12x+5）
=（x+3）（2x-1）（2x-5）。
方法2：利用添项拆项法,配合十字相乘法。
原式=4x3-x-30x+15
=x（4x2-1）-15（2x-1）
=x(2x-1)(2x+1)-15(2x-1)
=(2x-1)(2x2+x-15)
=(2x-1)(2x-5)(x+3).
相对而言，试根法比添项拆项法靠谱，添项拆项法运气好的时候一下就可以成功，运气差的时候可能一天都凑不出来。试根法虽然麻烦，但是它可以选择的a的值的数量是可控的。
（2）方法一、试根法。
这个题目偶次项系数和是5-9=-4，而奇次项系数和为1+3=4，两个数互为相反数，那么x-1必然是该多项式的一个因式；如果偶次项系数和=奇次项系数和，那么x+1必然是该多项式的一个因式。
原式=（x-1）（x2+6x+9）
=（x-1）(x+3)2。
方法2、拆项添项法配合分组分解法。
原式=（x3-x2）+（6x2-6x）+（9x-9）
=x2(x-1)+6x(x-1)+9(x-1)
=(x-1)(x2+6x+9)
=(x-1)(x+3)2;
(3)方法1：试根法，由题（2）分析可知，a+1是该多项式的一个因式。
原式=（a+1）（2a3-3a2-3a+2）（奇次项系数和与偶次项系数又相等）
=（a+1）2（2a2-5a+2）
=（a+1）2（a-2）（2a-1）。
方法2：分组分解法
原式=a3(2a-1)-(2a-1)(3a+2)
=（a+1）2（a-2）（2a-1）.
总结：因式分解是初中数学的一个难点，方法多，试题灵活，在自招招生和竞赛中属于必考内容，仅仅书上的知识只够应付中考。
例6、请看下面的问题:把x4+4分解因式。
分析:这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢?19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项,而且属于平方和(x2)2+22的形式,要使用公式就必须添一项4x2、随即将此项4x2减去,即可得x4+4=x4+4+4x2-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2).
人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法,就把它叫做热门定理。请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式分解因式:
(1)x4+4y4；
(2)x2-2ax-b2-2ab.
解答：(1)原式=（x2+2y2）2-4x2y2
=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy);
(2)原式=（x-a）2-a2-b2-2ab
=（x-a）2-（a+b）2
=（x+b）（x-2a-b）。
例7因式分解：（xy-1）2+(x+y-2)(x+y-2xy).（普通学生此题忽略）
分析：对于一个含有多个字母（一般3个以上）的多项式进行因式分解，我独创了一种赋零值法，能够极大的降低难度，以此题为例予以说明。这种方法都是针对竞赛题的。
令x=0，则原式=1+（y-2）y=（y-1）2
令y=0，则原式=（x-1）2；
因为上述两个结果，再次令x=1，则原式=0，令y=1，则原式=0；
所以原式必然含有因式（x-1）（y-1）；
根据轮换对称性，原式=（x-1）（y-1）[A(x2+y2)+Bxy+C(x+y)+D]
再次使用特殊值法：x=0，y=0，则D=1；
令x=0，y=2,则，4A+2C=-2；
令x=0，y=3,则9A+3C=-3；
令x=y=2，则8A+4B+4C=0
最后解出A=0,B=1，C=-1，D=1；
最后结果：原式=(x-1)2(y-1)2.
这个题目使用了赋零法、特殊值法，待定系数法，难度很高。赋零值法是特殊值法的一种。
四、练一练
1、已知m，n互为相反数，且满足(m+4)2-(n+4)2=16，求m2+n2的值。
2、因式分解：
(1)(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4;(2)8a2b2-12ab2c
(3)a2-2ab+b2-c2;(4)p2-5p-36;
(5)(x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y4;(6)(a-2b)2-25b2.
3、若a4+b4=a2-2a2b2+b2+6，求a2+b2的值。
4如果x2+x-1=0,求x3+2x2-7的值。
5、因式分解：
（1）x4-1-4x2-4x;(2)x5+x+1;(3)a2-b2+4a+2b+3
6、若x、y为正整数，并且xy+x+y=71，x2y+xy2=，求3x2+8xy+3y2的值。
答案1、m=-n代入，得m=1，n=-1；原式=3.
2、（1）原式=(x-2)4;(2)原式=4ab2（2a-3c）；（3）（a-b+c）（a-b-c）；（4）（p+4）（p-9）；
（5）(x-y)4;(6)(a+3b)(a-7b).
3、移项，a4+b4+2a2b2-(a2+b2)-6=(a2+b2)2-(a2+b2)-6=(a2+b2-3)(a2+b2+2)=0,a2+b2+2,约去，得a2+b2=3。
4、用降幂的方法做：x2=1-x;代入x3+2x2-7=x(1-x)+2x2-7=x+x2-7=x+(1-x)-7=
用多项式除法做：x+1+,即x3+2x2-7=（x2+x-1）（x+1）-6=-6。
5、（1）原式=(x2+1)(x+1)(x-1)-4x(x+1)先分组分解
=(x+1)(x3+x2-3x+1)提取公因式
=（x+1）（x-1）（x2+2x-1）奇次项系数和偶次项系数和互为相反数。
（2）用拆项补项法，(用待定系数法试试)
原式=x5-x2+x2+x+1
=x2(x3-1)+x2+x+1
=x2(x-1)(x2+x+1)+x2+x+1
=(x2+x+1)(x3-x2+1)
(3)用补项法
原式=(a2+4a+4)-(b2-2b+1)
=(a+2)2-(b-1)2
=(a+b+1)(a-b+3).
用赋零法做，令a=0，则原式=-b2+2b+3=（-b+3）（b+1）；①
令b=0，则原式=a2+4a+3=（a+1）（a+3）；②
对比①②可得原式=(a+b+1)(a-b+3)。
6、由x2y+xy2=得xy（x+y）=；设a=xy，b=x+y，则a+b=71①,ab=②；
把a+b=71移项，得b=71-a代入②得a2-71a+=0;(a-55)(a-16)=0.即或者（x、y为正整数，此方程无解，舍去）；
因此：3x2+8xy+3y2=3（x+y）2+2xy=.
