北京市数学特级教师/正高级教师钱守旺

数学课中的一块“硬骨头”，小学计算教学中很难上的一节计算课，在钱守旺老师的巧妙设计与精彩演绎下，散发出数学课独有的学科魅力。“新颖、大气、有深度、有创意”是现场听课教师对本节课的高度评价。从刘谦表演的“硬币穿玻璃”魔术开场，使这节课仿佛也具有了“魔力”。魔术揭秘后“二合一”“一对二”的课件演示，巧妙地复习了有关整数乘除法的知识；从“半个”到“二分之一”，从40个桔子到个桔子，从“一个一个数”到“一组一组数”；从“分数墙”到“等式的性质”；从“提出猜想”、“验证猜想”到“得出结论”。教师引导学生充分经历算法的探究过程，在一个又一个富有思考性的数学活动中，引导学生经过自己的思考发现一个数除以分数的计算方法，使学生真正享受到了具有“愉悦感”“充实感”和“成就感”的魅力课堂。

让数学课展现学科独有的魅力

〖背景概括〗年11月3日至5日，江苏省“舜湖杯——教海探航”征文颁奖大会暨“苏派、京派和浙派”教学观摩研讨活动在吴江市盛泽实验小学隆重举行。受江苏教育出版社的邀请，钱守旺老师代表京派与浙派的朱国荣老师、苏派的王凌老师同上一节课“一个数除以分数”。所使用的教材是苏教版课标教材，执教的内容是六年级上册第四单元例2。三位特级教师同台上课，而且上的又是同一内容，这让在场的老师们大呼“过瘾”。钱老师的这节课，因“大气新颖、有深度、有数学味，展现了数学学科独有的魅力”而受到老师们的一致好评。在“百度”上一搜索，老师们很容易找到现场听课教师对这节课的评价。

〖课堂实录〗

一、课前谈话

因为是借班上课，为了活跃课堂气氛，拉近师生的心理距离，课前教师播放了春晚刘谦魔术表演片断（硬币穿玻璃），激发学生兴趣，为新课学习提供素材。学生看过后，请学生大胆猜一猜，你觉得刘谦是怎样让硬币穿过玻璃的。学生的答案五花八门，极富想象力。最后教师揭秘：“刘谦用的是蝴蝶币！”，教师出示从淘宝网上购买的蝴蝶币，学生认识蝴蝶币的结构，为下面提出数学问题做好素材上的准备。

二、探究新知

1、从刘谦魔术中蝴蝶币谈起，研究整数乘、除法知识，为学习例2积累活动经验。

教师用课件出示（桌面上放12个单币），提问：如果老师一拍玻璃，你们猜桌面上会出现几个组合币。

学生回答后，教师结合课件演示，体现“二合一”的过程。

教师提问：刚才的思考过程，用算式怎样表示？（12÷2=6）

教师用课件出示（桌面上有5个组合币），提问：如果老师一拍玻璃，要出现5个组合币，你们猜桌面上应该放几个单币。

学生回答后教师课件演示，体现“一对二”的过程。

教师提问：刚才的思考过程，用算式怎样表示？（2×5=10）

通过有趣的“蝴蝶币”游戏，结合“二合一”的演示复习整数除法的知识，结合“一对二”的演示复习整数乘法的知识。

2、教学例2的前两个问题，提出猜想。

（1）教师出示例2：

幼儿园李老师把4个同样大的橙子分给小朋友。

①每人吃2个，可以分给几人？每人吃1个，可以分给几个人？

学生口答并列出算式：4÷2=2（人），4÷1=4（人）。

②教师课件出示：幼儿园李老师把4个同样大的橙子分给小朋友，每人吃半个（教师用半个橙子表示），可以分给几个人？

学生自己独立思考，可以画图表示结果，也可以列式表示结果。

儿童的生活经验是理解算理的基础，教师不急于出现，而是充分利用学生“一半”的生活经验，引导学生自主探究，这里的画图是一种非常好的教学策略，借助图形语言，学生可以把自己的想法直观地展示出来，让我们看到学生真实的思考过程。

教师把桔子的个数改成“40个”“个”“个”，让学生回答，每人吃半个，可以分给几个人？

学生很容易说出：80人、人、0人。

由“4个”变成“40个”“个”“个”，在学生的脑子里“乘2”的思路已初步形成。

回到刚开始的问题，聚焦计算过程。

结合课件演示（教师把4个桔子一分为二），直观看出计算结果是8人。

教师引导学生进一步思考：还有什么办法可以推出：4÷1/2=8。

学生回答后，教师课件演示：（把分数化成小数计算，根据等式的性质推出最答案）

激活学生的已有知识，引导学生把没有学过的问题转化成已经学过的问题解决，在算法的探究中掌握解决问题的一些基本策略。

结合下面的课件演示，从不同视角研究得出计算结果的过程。

“一个一个”地数如何得到8人；“一组一组”地数，如何得到8人。

进而得到等式：4÷1/2=4×2。

数学基本活动经验是学生个体在经历数学活动的过程中获得和积累的经验，经验是一种过程性知识，是在实践活动中所形成的一种“活动图式”。同样是“8人”，但得到这个结果却有不同的路径，可以由直观演示看出结果，可以把分数化成小数计算出结果，可以根据分数的基本性质推出结果，还可以“一个一个”数出结果，“一组一组”数出结果。结合操作和图形语言，引导学生探索、理解计算方法，直接服务于算理的理解和掌握。在此过程中，教师引导学生利用已有的知识解决问题，让学生感受和体验解决问题策略的多样化。

（3）利用“分数墙”帮助学生理解“4÷1/2=4×2”。

教师分两步引导学生思考：

第一步，“一个一个”数，结合课件演示，数出4里面一共有8个；

第二步，“一组一组”数，1里面有2个，2里面有4个，3里面有6个，4里面有8个.一共是“4个2”，列式是4×2.

引导学生得出：4÷1/2=4×2。

数形结合思想是根据问题的具体情况，把具有直观形式的图形性质的问题转化为具有算法性质的数量关系的问题，从而使抽象思维和形象思维结合起来。“分数墙”是一种非常好数学模型，通过分数单位的个数，引导学生数形结合，用图形语言刻画运算过程，帮助学生直观理解四则运算的算理，教学中老师组织学生进行“圈一圈”的活动，“几个几”的图像便跃然纸上，有利于学生表象的建立，使问题的数量关系更易于理解，使抽象的算理具体化。

（4）利用“等式的性质”推导“4÷1/2=4×2”。

教师在大屏幕上出示复旦大学张荫南教授说过的一句话：数学家之所以有饭吃，在于能够运用符号获得结果。然后引导学生利用等式的性质推出4÷1/2=4×2。

利用等式的性质推出4÷1/2=4×2，推理过程无须现实情境的说理支撑，也不用直观演示，虽然有一定难度，但因为这种方法具有一般性和生长性，这里还是想介绍给学生。但不作为全班要求，只是定位在“了解”的层次上。学生掌握了这种思考方法，那么接下来的分数除以分数，便很容易推导出等于乘分数的倒数。在这个教学环节上，教师充分发挥自身在数学活动中的主导作用，在学生思维受阻的时候给予适度指导，引导学生积累科学的数学活动经验。

也就是说，教师要根据数学知识的内在联系，在学生能够接受的情况下，应尽可能伸长“学习的触角”，对所学知识进行适当拓展延伸，让学生通过一节课的学习能够收获更多“能带走”的东西，能够积攒学习的“后劲”。

（5）进一步研究算式中的数，结合“4÷1/2=4×2”，引导学生思考：与2有什么关系？

学生先独立思考，再在小组里交流自己的想法。

（6）学生初步提出猜想：一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。

重视引导学生从已有的知识和经验出发，建立“合理猜想”，然后加以验证，对于培养学生的直觉思维，形成科学严谨的学习态度和良好的思维习惯是非常必要的，这也是苏教版教材在这个环节的重要编写意图。

3、教学例2的第3个问题。

（1）学生在教材上独立完成，然后指名汇报。

（2）利用“分数墙”帮助学生理解“4÷1/3=4×3”和“4÷1/4=4×4”。

（3）利用“等式的性质”自己推出“4÷1/3=4×3”和“4÷1/4=4×4”。

4、教师结合图引导学生思考：如果我们分的不是橙子，而是月饼，结果会怎样呢？如果是4个苹果、4个西瓜、4箱苹果，结果又如何呢？

5、学生观察黑板上的三组算式，思考：什么变了？什么没变？你发现什么规律？

学生很容易发现：被除数不变，除号变乘号，除数变成它的倒数。

引导学生在前面猜想的基础上得出结论：一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。

要使学生会计算，必须使他们明确怎样计算，也就是要加强法则及算理的理解。计算的算理是说明计算过程中的依据和合理性，也就是为什么这样计算。为了落实“四基”的培养目标，使学生受到数学思想方法的熏陶，经历“提出猜想——验证猜想——得出结论”的学习过程，教师放慢教学的节奏，引导学生充分经历算法的探究过程，让学生自己发现一个数除以分数的计算方法，使学生享受到获得成功的愉悦感。

6.拓展：根据上面的学习，你能否推出4÷2/3=?

学生说出计算方法和结果后，教师借助“分数墙”进行验证。

此题主要培养学生的迁移类推能力和类比能力，体现数学学习的“举一反三”。

三、巩固练习

1、画一画。

2、填一填。

3、大嘴鸟吃鱼。

4、拓展：根据今天的学习，你能否推出4÷2/3=?

学生说出计算方法和结果后，教师借助“分数墙”进行验证。

这里的练习设计有三个层次，第1、2小题为基本练习，第3题为变式练习，数学变式训练能培养和发展学生的求异思维和逆向思维，有助于学生提高分析问题、解决问题的能力。大嘴鸟吃鱼的最后一题比较开放，有利于培养学生的发散性思维，沟通分数乘除法之间的关系。第4题为拓展练习，主要培养学生的迁移类推能力和类比能力，体现数学学习的“举一反

四、回顾反思

教师引导学生跟着课件演示，回顾本节课的学习内容。

从“从“双基”到“四基”是数学课程是本次课程标准修订的重要变化之一，从“双基”到“四基”是多维数学教育目标的要求。

课堂小结常用的方法是教师问学生：“通过这节课的学习，你们有什么收获？”，然后教师指定两三人对照板书把今天讲的内容重复一遍。这种结课方法缺乏深度，对学生的后继发展作用不大，特别是每节课都如此，学生慢慢地就变成了“走过场”，所说的话都是“场面上的话”。

人的“数学智能”在很大程度上依赖于“数学思想方法”的掌握。数学思想方法是把数学知识的学习和培养能力有机地联系起来，提高个体思维品质和数学能力，从而发展智力的关键所在，也是培养创新型人才的基础，更是一个人数学素养的重要内涵之一。

本节课，教师引导学生在舒缓的音乐声中，结合课件演示回顾自己的学习历程，最后落到“提出猜想——验证猜想——得出结论”的数学思想方法上，使数学思想方法更具“亲和力”，有利于培养学生的学习后劲，完善学生的数学认知结构。

一节新颖而有深度的数学课

江苏省著名特级教师蒋守成

在年江苏省教海探航活动中，我“遇上”了钱老师的“一个数除以分数”一课，上课前我和几位老师在聊课，说到我们的数学课如何让孩子们去“想”，如何通过关键活动推动学生思维发展，正聊得起劲时目光被他的揭秘“刘谦魔术表演”吸引去了，聚精会神的进入了观课，被一个个精彩活动所吸引，这堂课何以这么吸引大家？在我看来是他的新颖和深度，他的新颖不仅仅形式的吸引，而是学科本质魅力的牵引；他的深度不仅仅是知识层面的理性分析，而是对教学内容的深刻解读。透过课堂，计算教学如何让学生清晰的理解算理？如何让学生掌握计算的方法？数学还能给孩子带来什么？给了我们很好的借鉴和思考。

一

对于“一个数除以分数”，算法不难教，教师讲一讲，学生练一练，就能轻松掌握了。但这样的教法是一种破坏性的教学，大多数孩子知道了算法就会对算理失去兴趣，让孩子远离了算理，也远离了数学思维，就变成了操作工。所以毫无疑问要先理解算理，然后再掌握算法，这是常识。面对学生如何理解算理这一困难，一贯的教学思路是：将理解算理作为重点，教学中结合具体的问题情境，在解决问题中经历“算理”理解的思维过程，形成算法结论，进而在解释和应用的过程中进一步深化认识。

钱老师的课，在宏观上进行了系统架构，目标定位更为高远，不是简单的要求懂算理会算法，而是引导学生主动思考：“我是怎样算的”，“这样算对吗”，“这样算的道理在哪里”，经历了“提出猜想——验证猜想——得出结论”的数学活动过程。在素材的选择和数学活动设计上，为了了解学生的学习起点，