治疗白癜风与爱同行 https://m.39.net/disease/a_9096825.html

数学难学，几乎是世界各地学生的心声。

在我们中国的学生为数学感到苦恼的时候，美国还在努力研究：“中国数学教育”为什么这么成功？为什么中国学生的数学运算能力这么强？”

可见，不管是我国的老师，还是发达国家的老师，都在研究如何帮助学生学好数学。

所以，我们也一起来聊聊这个热门话题。尤其是探讨一下，培训老师该如何通过自修，提升数学思维能力。

从某种角度说，数学与思维导图有许多相似处。

比如，数学是训练思维能力的工具，思维导图也是；数学注重逻辑推理，思维导图注重逻辑分析；数学有严谨的知识体系，思维导图善于呈现知识体系。

既然如此契合，那么如何让思维导图在老师自修的过程中发挥作用呢？

我们会先讨论方法，再体验几道数学思考题，最后进行小结。

一、老师的自修

许多教授学习方法的老师，并不是数学科或理科出生。我们并不是专业数学老师，甚至以前还是数学“困难生”。

所以，大家会思考：“我们需要了解数学吗？可不可以绕过数学，只教学习方法？”

我想说：“很难绕过数学”。

第一个原因是，学生无法绕过数学，这是学生的痛点。所以，这自然是学习方法老师需要努力帮助他们的方向。

第二个原因是，数学是理科的基础，绕过数学就无法帮助所有想学好理科的学生。

第三个原因是，思维导图是思维训练工具，而数学有严谨的思维过程，它们之间天然有相通性。

老师如果想要提升自己的思维能力，很重要的途径是从数学知识的探索入手。

那么，我们可以如何自修数学呢？

这里给大家三个思路：建立知识体系、多角度了解数学和做题演练。

1建立知识体系

不管你是否是专业数学老师，使用思维导图搭建数学课本的知识结构，是基本的“功课”。

因为要做到这件事情并不难。尤其对于小时候也没学好数学的老师来说，做课本分析非常有价值。

为什么这么说呢？

我们可以换位思考一下：正是因为你以前数学没学不好（我本人属于这类），所以能深刻的理解学生难处和感受。

如果我们自身能通过思维导图分析课本，重新建立对数学的信心，重新认识和喜欢上了数学，那么就会有更好的课程设计思路。

可以说，老师帮助自己的过程，就是未来帮助学生的过程模拟。

相比之下，那些数学本来就学得很好，然后大学又读了数学科的专业老师，反而不一定可以从数学困难生的角度理解学生，并进行课程设计。因为他们较难理解“数学困难生”的感受。

许多老师说：“这样看来，“过去数学不好”也可以是我们教学和成长的资源。”

那么，如何使用思维导图来做数学书分析呢？

建议1：软件作图有利于建立大知识结构。

建议老师们能使用思维导图软件，来制作数学课本分析图。

原因1：软件的空间不受限制，我们可以将从小学到高中的知识结构都整理在一张图中。

原因2：软件导图呈现的字体比手写字体更便于学生识读。而且，可以放大、缩小、加粗、标色。

原因3：软件导图非常便于我们在后期进行知识板块的重新组合。

我们在自我操作和教学演示的时候，可以自由移动知识点，根据主题需要进行跨学年汇总。让数学知识结构更灵活的满足个性化需求。

学生则根据条件而定。如果没有条件使用电脑，则可以使用手绘。

因为手绘导图对于学生来讲，容易实现。在学校、在家里都可以随手画。

而且，学生不一定要制作大知识体系图，可以先制作一章或几章内容的知识结构图。

不过，如果想要将多本课本联合作图，最好需要使用导图软件。

（老师在完成软件导图之后，也可以再用手绘导图画一遍。便于带领学生制作手绘导图。）

建议2：选择适合的教材版本

目前学生通用的教材有两种：人教版和北师大版。

老师可以先选择其中一个版本来分析。然后再把另一个版本的数学书也分析一遍。这样，我们能很全面的了解两种教材的特点和差异。

就我个人的感受来说，人教版的数学书逻辑更严密，知识点表明更清楚，但趣味性相对弱一些；

北师大版的数学书更注重知识的形象化表达，用案例来说明概念，更容易理解，但知识点的展现比较零散。

建议3：从小学课本开始分析

阅读分析的顺序，建议从小学数学课本开始。先分析一年级数学书，然后逐渐分析到高年级。

入门级的老师，可以设定分析完小学六年数学书为目标。等完成这个目标后，可以继续进阶，整理完初中数学的知识结构。

而对自己有较高要求的老师，可以继续分析完高中数学的必修和辅修课本。甚至继续努力，分析一下大学课本。

如果我们能将小学数学到高中数学的课本都打通，并熟悉，那么就可以对知识结构建立相对清晰的整体感知。

更深刻的弄明白小学、初中和高中三个阶段，数学学习的侧重点有什么不同？三个阶段的进阶过程是怎样的？

同时也会对数学学科的核心逻辑和本质，有更多的理解。

我个人目前只是初步整理完从小学到高中的知识结构，但远没有做到彻底打通和灵活应用。因为很多高中知识点，还停留在一知半解的状态下。

但即使这样，通过整体课本的分析，我对数学的认知更深入了，对数学学习法的理解更丰满了。

建议4：遵循极简记录原则

有的老师说：“我根本没时间分析这么多课本。”是的，工程量比较大。所以建议老师们先制定一个可行性计划，然后分步骤推进和完成。

同时，提升思维导图的分析效率很重要。

在首次课本梳理的过程中，绝对不要考虑学生的需求，只是考虑自己兴趣阅读的需求。

我们可以告诉自己：“我只整理自己需要的数学知识点。而且，拒绝啰嗦，只记录最低限度需要的关键词。”

在课本分析时，切勿想要做到“一步到位”。不要幻想着只通过一次分析，就做到完整细致，想着分析完就能直接给学生做教学讲解。

因为如果一边想着满自己的需求，另一边又想满足学生的需求，那么关键词就无法提取了。

我们会陷入完全不必要的罗嗦细节，心想：“学生会不会需要这个关键词？那个关键词是不是有利于教学？……“这样做的最终结果很可能是，一本小学数学课本就需要分析超过1个小时！同时导致思维导图不断膨胀，充满水分。

这时，很多老师会感到疑惑，说：“我的确需要用于教学？的确需要考虑学生的需求呀？”

我的回答是：“是的，这个没错。但那是以后再次修改完善知识结构时，再去考虑的问题。

第一遍分析是为了自己。要最快速、最简练的提取最少要点。这才是做数学课本分析的最优起点。不要贪心。”

所以，基本上，小学1-3年级的数学课本，每本书花费10-30分钟就能画完知识结构；

4-6年级的数学课本，每本书花费20-60分钟就能画完知识结构；

初中三年的数学课本，每本需要花费60-90分钟进行知识结构分析；以此类推，高中数学课本分析的时间相对较多一些。

等知识结构整理好之后，如果老师需要挑其中一本书的内容讲给学生听。可以将对应的知识内容复制下来，在一张新图中进行增补。

让表达更清晰、详细，便于学生理解。而且，还可以通过不同分类方式重组知识。

2多角度了解数学

分析完学生的《数学》课本，就大功告成了吗？

还没有。那是学习方法老师走近数学的第一步。

接下来，我们需要广泛涉猎书籍，开拓数学教学思路。

因为数学课本都是“干货”，但缺乏深入的理论讲解，也不能让我们从通俗易懂的角度来看数学。

而广泛的阅读数学家的书籍，则可以从多个角度感知数学学科，也能让我们学习数学家的教育理念。

这方面的书籍很多，我这里只是根据自己看过的一些书，来进行筛选和推荐。

而且，大家一定要了解，每个人的数学基础和兴趣点不同，需要的书籍自然不同。所以，适合我的书，并不一定符合你的需求。

这里，我推荐的第一本是乔·博勒博士的《这才是数学1》。

作者乔·博勒教授任教于斯坦福大学，还曾受邀到白宫发表关于数学教育的演讲。

这本书的特点是：内容相对简单易懂，语言生活化。

同时，书中深刻的探讨了数学教学中的问题，教学理念以及教学方法。

这套书一共有三本，第一本是基础理论，第二本是面向教师的，第三本是教学一些案例。

我认为最有价值的是第一本书。

大家如果看完第一本后，认同作者的观点，再考虑读第二本。第三本书是另外一个作家写得，和前两本书的关系不太大。

我推荐的第二本是刘薰宇老师的书，有许多本。目前市面上流行的是《数学三书》。

刘薰宇是我国著名的数学教育家。他年毕业于北京高等师范学校数理系，年留学法国，在巴黎大学研究数学。在年出任人民教育出版社副总编辑。

他的数学学习方法书籍能够帮助我们开拓思维，让学习者重新理解数形结合的关系，用巧妙的方法解决数学问题。

书的内容丰富，例题也很多，适合有一定数学基础的学习者。

第三个推荐的是我国的一套数学杂志《数学西游记》，又名《我们爱科学》。创刊于年，由中国少年儿童新闻出版社主办。

《数学西游记》里面有很多趣味数学故事，能让阅读者不知不觉记住数学知识。

从小学三年级左右，就可以开始阅读。成年人阅读起来，基本无压力。

第四本推荐的是比尔·柏林霍夫和费尔南多·辜维亚写的《数学史》。

这本书将恢弘的数学发展史，通过故事的形式串联起来。从古数学讲到计算机相关数学，然后又将不同知识点的数学发展史进行具体讲解。

书中的内容很丰富，但耐心不足的读者慎入。

还有很多好书，等待大家去发掘。

通过阅读相信大家会发现，从多角度看数学，能帮助我们更好的理解数学课本，也有助于我们进行学习方法教学。

3做题和演练

前两个环节都侧重，从知识结构和观念认识上走近数学。

接下来，老师们还需要通过做题演练，来累积数学实操经验和思维能力。尤其对于想要深入教授数学学习方法的老师，这个环节必不可少。

在训练数学思维方面，不得不说做奥数题非常有益，而且趣味性十足。

老师们可以不断通过的推演训练，将知识点用在问题解决上，深化理解，锻炼能力。

我个人只是做了一些初步的实践，就已经有了非常多的收获和启发。

相信专业数学老师在这方面更有发言权。如果你身边有这样的老师，可以多多与他交流请教。

除了做题，训练数学思维能力的方式还有很多。比如数独游戏、24点扑克牌游戏等等。

其中，数独游戏的规则是根据一定加法规律来填空，训练操作者的推理能力。从低阶到高阶有很多训练素材。

而24点扑克牌游戏是指通过四张扑克牌，进行运算比赛。

玩法是，首先去掉大小王，留下52张。然后用每一张牌代表一个数字。其中，JQK代表11，12，13，而其他牌则代表自然它对应的数字。

在运算过程中，除个别情况外，任意组合的四张牌都可以算出结果24。

主要是运用加减乘除这四种方式，进行自由组合。可以多人玩，也可以1人玩。

谁能最快算出24就能把牌赢走。最后谁的牌最多获胜。

二、数学思考题

接下来，一起体验三道数学思考题。我们将更深刻的体会到，为什么数学能锻炼思维能力。

1、请观察下面三个图的规律，并用一个式子表达以此类推的第n项。（引用自乔·博勒的《这才是数学》）

这个图是一个式子的前三项，大家发现什么规律了吗？

对，是一直递增。还有呢？好像递增的过程也有一些规律。

在往下看之前，大家可以自己算一算，看能不能找到以此类推第n项的表达式。

好的，揭晓答案。

大家会发现，如果我们把每组方块分成三部分，那么就能发现每个部分的增长规律。有的变动，有的没有变动。

接着，就可以将这个规律转化为三个表达式。最后，我们联立三个表达式，就得到第n项的表达式了。

这个游戏也被成为“堆叠形式”算法。

通过这个活动，我们可以弄明白“函数表达式”是如何形成的。原来函数不单是一个式子，还可以是一个增长的方块组合。

2、请用直角坐标系的线条来表示：a-b=3；a+b=3；ab=3；和ab=3这四个式子。（整理自刘薰宇的《马先生谈算学》）

刚才我们用图形来表达式子，现在引入直角坐标系。

这个练习表面上看非常简单。不就是加减乘除四则运算吗，小学二年级的同学就会了。而坐标系也不难，初中一年级的同学就会了。

但我们以前可能没想过，四则运算可以如何用坐标系画出来？

大家可以将自己想到的答案写下来，看能不能画出对应的线条。

好的，这里揭晓答案。

在这一条线中，所有的点都满足a+b都等于3。

而在这条线中，所有的点都满足a-b都等于3。

a*b=3可以表示为这样的图形。

而a/b=3则可以表示为这样的图形，在这条线上的任意一个点，都是a/b=3。

大家可能还有点懵，会说，“老师，我还是看不懂。虽然图形都见过，但这个图形是怎样和式子联系在一起的呢？”

我们分步骤来看，就清楚了。

我们知道a和b相当于两个可变的数，我们可以用x轴表示a的变化，y轴表示b的变化。

这样，式子可以转化为大家熟悉的形式，y=-x+3。也就是斜率为负数的一次函数。

同理，这条线代表a+b=3。我们可以用x轴表示a的变化，y轴表示b的变化。

转化为我们熟悉的形式，就是y=x-3。其中，斜率为1，在y轴上过点-3。

a*b=3是反比例函数。

a越大，b越小；a越小，b越大。当a为负数时，b也为负数，它们的乘积总是为正。

而a/b=3则是一条斜率为1/3的一次函数。

这时，大家会有恍然大悟的感觉。

原来加减法的关系，是斜率为1的递减或递增的直线，除法是斜率可变的直线。而乘法则是反比例关系。

通过这个活动会发现，数学思维的一个重要特点就是等价代换和灵活变通。

3、你是否可以用多种方式来计算，同时，将这些算法的图画出来？

大家一定觉得这道题非常简单。不就是小学的数学乘法吗？好的，大家现在可以按下暂停键，自己算一算，画一画。

我们发现，其实方法很多。比如，可以将12分成10+2。那么就变成8（10+2）。然后分解一下，变成80+16=96.

也可以将8变成10-2，那么就变成了（10-2）12.然后分解一下，-24=96.

我们再想一想，如果两边同时变化会怎样：将8变成10-2，12分成10+2。这时式子就变复杂了。原来的就变成了（10-2）（10+2）。

这个式子要怎么展开呢？

有的伙伴已经开始有点晕。其实，式子可以变成这样，然后进一步变成这样。最后算出这个结果。

这就是初中的因式分解，如果用字母代表，通用的式子就是（a-b）（c+d）=ac+ad-bc-bd。

用在这里，可以用特殊的平方差公式（a+b）(a-b)==a^2-b^2

大家有没有发现，原来一道小学乘法算式，背后蕴含着初中因式分解的知识。

那么，怎么用图形来表示呢？

我们看一下第一个式子：8（10+2）用图形表达就是这样，两个长方形的面积加在一起。

第二个式子：（10-2）12可以表示成怎样呢？对了，一个大方块剪掉一个小方块。

第三个式子呢：（10-2）（10+2）？原来可以表示为两个正方形的关系。一个大正方形，减去一个小正方形，就是式子的答案了。

做完三道题，大家是不是发现数学很有趣。要想学好数学，脑子就好灵活反应。

这几道题对于老师来讲，都是入门级的。相信大家不断实践，将有更多收获。

三、小结

这节课我们聊了聊关于培训师如何进行数学思维自修的话题。文中提供了三个思路：建立知识体系、多角度了解数学和通过做题演练。

其中，建立知识体系是老师们构建自己数学思维的基础，第二步多角度阅读，是开阔视野的关键；最后一步，做题演练。

这里指的是做好题，比如奥数题、数独题等等，不是简单重复的题海战术。可以说做题演练，是锻炼数学思维的最终方式。

接着，我们通过三个思考题，感受了一下有趣的数学。三道题都是非常简单，且基于数理基础的知识，但很多时候我们过去并没有真正掌握。

写这篇文章的时候，我也在深深的反省自己过去的学习历程。

可以说，我小时候也是个聪明伶俐的小朋友，小学数学考试也时常可以分。但不知道什么时候开始，我越来越不喜欢数学。

初中的时候，表面上还算是数学尖子生，但内心已经筋疲力尽。等到了高中，直接变成“数学困难户”，感觉学习数学就是自我折磨。

当时我的感受是：“压根没发现数学和思维训练有什么关系。数学不就是不管死活的做题吗？我的思维能力，完全没有因为上数学课提升，反而因为拼命做题而变僵化了。”

这种对数学的偏见，一直到成年以后都有。我认为数学是一门乏味无聊的课程，学不好是正常的，学得好或喜欢数学，那都是脑子超常的。

现在回想起来，并不是数学这个学科的错，而是进入数学的方式错了，所以没有找到学数学的乐趣。

不过，这也不能怪以前的老师，他们都已经尽力了。他们的学习之路，可能也是通过做题铺出来的。

因为“如何才能教好数学？”，并不是一个老师努力的方向，而是无数数学教育家研究的方向。

所以，从现在开始改变，从实践更好的数学学习方法开始行动。

相信老师的改变，能够带动更多学生享受数学思考的乐趣。

在成长的路上，我们共勉。

主理人：宋莹。思维导图培训师（年至今）、广州启思教育创始人、北大博雅讲坛特约讲师、托尼博赞TBLI思维导图认证讲师、MindManager导图软件官方合作讲师、第十届思维导图锦标赛中国组委会副秘书长。广东外语外贸大学工商管理学士，中山大学公共管理硕士。畅销书《思维导图从入门到精通》、《有效学习：成为学习高手》作者。

期待各位伙伴一路同行，在思维导图、学习方法、脑力训练、静心冥想等多个方面相互交流，共同成长。