中考数学专题系列六十七：初中数学，巧解三元一次方程组，“整体思想”在三元一次方程组中的应用

作者卜凡

先请大家解下面的三元一次方程组：

分析：按照常规的解题思路，先消元，转化成二元一次方程组，然后解这个二元一次方程组，求出其中两个未知数的值，最后把这两个未知数的值随便代入方程①、②、③中的某一个方程，求出第三个未知数的值，这样就能求出这个方程组的解了。

而今天和大家介绍的是运用“整体思想”巧解方程组，具体做法是：先不“消元”，直接把三个方程的左右两边相加得2x+2y+2z=6，接着把这个方程的左右两边都除以2得x+y+z=3，称其为方程④，然后④-①，得x=2，④-②，得y=1，④-③，得z=0.于是得出原方程组的解是得x=2，y=1，z=0.

上面这种运用“整体思想”的解答思路和方法是不是简单了很多？为了巩固这种思路和方法，并且能够灵活运用“整体思想”，请大家继续解答下列问题：

分析：第1题的两个小题，与上题方法一致，在这不再重复，最后的答案见下图。第2题，根据方程组的解的定义，先把x=1,y=2,z=3代入方程组中，得出关于a、b、c的三元一次方程组（答案见下图），再把这三个方程组的左右两边分别相加，得4a+4b+4c=12,然后两边都除以4，得a+b+c=3，问题解决.第3题，也是根据方程组的解的定义，先把x=1,y-1代入原方程组得到a+1=b，a-b=a，再移项整理后得出a-b=-1，a=-1，根据a-b=-1，a=-1解出b=0，所以a+b=-1,然后把a-b=-1，a+b=-1整体代入(a+b)2-(a+b)(a-b)中，得原式=0.第4题，把原方程组的左右两边相加得4x+4y=2+2a,把x+y=1的两边都乘以4，得4x+4y=4，于是得出2+2a=4，最后解得a=1.第5题，把两个方程的左右两边分别相加得5x+5y+5z=25，然后两边都除以5，得x+y+z=5。

通过今天的介绍，大家知道了在三元一次方程组中运用“整体思想”，不但能够使解三元一次方程组变得更加得简单，而且还能够使其它有关“三元”问题的解决简便了很多。